▲大統曆法一上法原
造歷者各有本原，史宜備錄，使後世有以考。如《太初》之起數鐘律，《大衍》之
造端蓍策，皆詳本志。《授時歷》以測算術為宗，惟求合天，不牽合律呂、卦爻。然其
法所以立，數之所從出，以及晷影、星度，皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中，有書名可
考。《元史》漫無采摭，僅存李謙之《議祿》、《歷經》之初稿。其後改三應率及立成
之數，與夫割圓弧矢之法，平立定三差之原，盡削不載。使作者精意湮沒，識者憾焉。
今據《大統因通軌》及《歷草》諸書，稍為編次，首法原，次立成，次推步。而法原之
目七：曰句股測望，曰弧矢割圓，曰黃赤道內外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三
差，曰裡差刻漏。
▲句股測望
北京立四丈表，冬至日午正，測得景辰七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至
地平二十六度四十六分半，為半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半徑，截矢
余五十四度九十六分為股，乃本地支戴日下之度。以弦股別句術，求得句二十六度一下
七分六十六秒，為日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至
地平七十四度二十六分半，為半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半徑，
截矢余一十七度一十三分二十五秒為句，乃本地去戴日下之度。以句弦別股術，求得股
五十八度四十五分半，為日出地半弧弦。
以二至日度相並，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，為北京赤道出地
度。以赤道出地度轉減周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，為北京北極
出地度。
▲弧矢割圓
周天經一百二十一度七十五分少。少不用。半徑六十零度八十七分半。又為黃赤道
大弦。二至黃赤道內外半弧背二十四度。所測就整。二至黃赤道弧矢四度八十四分十二
秒。黃赤道大句二十三度八十分七十秒。黃赤道大股五十六度零二分六十八秒。半徑內
減去矢度之數。
割圓求矢術 置半弧度自之，為半弧背幕，周天逕自之，為上廉。上廉乘半弧背幕，
為正實。上廉乘徑，為益從方。半弧背倍之，乘徑，為下廉。以初商乘上廉，得數以減
益從方，余為從方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，為從廉。從方、從廉相並，為
下法。下法乘初商，以減正實，實不足減，改初商。實有不盡，次第商除之。倍初商數，
與次商相並以乘上廉，得數以減益從方，余為從方。並初商次商而自之，又以初商自之，
並二數以減下廉，余以初商倍數並次商乘之，為從廉。從方、從廉相並，為下法。下法
乘次商，以減余實，而定次商。有不盡者，如法商之，皆以商得數為矢度之數。黃赤道
同用。
如以半弧背一度求矢。術曰：置半弧背一度自之，得一度，為半弧幕。置周天徑一
百二十一度太自之，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，為上廉。上廉乘半弧背
幕，得一萬四千八百二十三度零六分二五，為正實。上廉又乘徑，得一百八十零萬四千
七百零七度八十五分九十三秒七五，為益從方。半弧背一度倍之，得二度，以乘徑得二
百四十三度五十分，為下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度
零六二五，得一百一十八度五八四五，以減益從方一百八十零萬四千七百零七度八五九
三七五，余一百八十零萬四千五百八十九度二七四八七五，為從方。又置初商八十秒自
之，得六十四微，以減下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四
七九九九四八八，為從廉。以從廉、從方並之，共得一百八十零萬四千五百九十一度二
二二八七四四八八，為下法。下法乘初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二
九九五九零四，以減正實，余實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二
秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一萬四千八百二
十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以減益從方，余一百八十零萬四千
四百六十七二五七六二五，為從方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八
十秒自之之數，得一秒三十一微，以減下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得
一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，為從廉。以從廉、從方並，得
一百八十零萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，為下法。下法乘次商，得三
百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以減余實，仍余二十五度四三八三八二九
一二零二零四四。不足一秒葉不用，下同。
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以為黃赤相求及其內外度之根。
數詳後。
▲黃赤道差
求黃赤道各度下赤道積度術。 置周天半徑內減去黃道矢度，余為黃赤道小弦。置
黃赤道小弦，以黃赤道大股乘之大股見割圓為實。黃赤道大弦半徑為法。實如法而一，
為黃赤道小股。直黃道矢自乘為實，以周天全徑為法，實如法而一，為黃道半背弦差。
以差去減黃赤道積度，即黃道半弧背。余為黃道半弧弦。置黃赤道半弧弦自之為股幕，
黃赤道小股自之為句幕，二幕並之，以開平方法除之，為赤道小弦。置黃赤道半弧弦，
以周天半徑亦為赤道大弦乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道半弧弦。置黃赤道小
股，亦為赤道橫小句以赤道大弦即半徑乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道橫大句，
以減半徑，余為赤道磺弧矢。橫弧矢自之為實，以全徑為法而一，為赤道半背弦差。以
差加赤道半弧，為赤道積度。
如黃道半弧背一度，求赤道積度。術曰：「置半徑六十零度八十七分五十秒，即黃
赤道大弦。內減黃道矢八十二秒余六十零度八六六八，為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，
以黃赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四為實，以
黃赤道大弦六十零度八七五為法，實如法而一，得五十六度零一分九十二秒，為黃赤道
小股。又為赤道小句。置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全徑一百二十一度七五為
法，除之得五十五纖，為黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度，內減黃道半背弦差，余
為半弧弦，因因差在微以下不減，即用一度為半弧弦。置黃道半弧弦一度自之，得一度
為股幕。黃赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四為
句幕。二幕並得三千一百三十九度一五零七六八六四為弦實，平方開之，得五十六度零
二八一，為赤道小弦。置黃道半弧弦一度，以半徑即赤道大弦乘之，得六十零度八七五
為實，以赤道小股五十六度零二八一為法除之，得一度零八分六十五秒，為赤道半弧弦。
置黃赤道小股五十六度零一九二，又為赤道小句。以赤道大弦半徑六十零度八七五乘之，
得三千四百一十零度一六八八為實，以赤道小弦為法除之，得六十零度八十六分五十三
秒，為赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒，內減赤道大句六十零度八十六分
五十三秒，余九十七秒，為赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，
以全徑為法除之，得七十纖，為赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤
道背弦差，為赤道積度，今差在微已下不加，即用半弧弦為積度。
凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黃道度下赤道積，兩
數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數並同。
▲黃赤道相求弧矢諸率立成上
表格略
▲黃赤道相求弧矢諸率立成下
表格略
按郭敬創法五端，內一曰黃道差，此其根率也。舊法以一百一度相減乘。《授時》
立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其數差，合於渾象之理，視古為密。顧《至
元歷經》所載略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為率，今正之。
▲割圓弧矢圖
凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。
剖弧矢形而半之，則有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦為句，矢減
半徑之余為股，半徑為弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦、而大小可互求，
平側可互用，渾圓之理，斯為密近。
平者為赤道，斜者為黃道。因二至黃道赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小
句股。
外大圓為赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以
生大名股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按舊史無圖，然表亦圖之屬也。今句股割弧矢之法，實為歷家測算之本。非圖不明，
因存其要者數端。
▲黃赤道內外度
推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。置半徑內減去赤道小弦，余為赤道二弦差。
又為黃赤道小弧矢，又為內外矢，又為股弦差。置半徑內外減去黃道矢度，余為黃赤道
小弦，以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實，以黃赤道大弦為法，即半徑。除之為黃赤道
小弧弦。即黃赤道內外半弧弦，又為黃赤道小句。置黃赤道小弧矢自之，即赤道二弦差。
以全徑除之，為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。
置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈天限以減，皆加減象限度，即各得太
陽去北極度分。
如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。術曰：「置半徑六十零度八十七
分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十
一秒，為黃赤道小弧矢。即內外矢。置半徑六十零度八七五，內減黃道四十四度，矢一
十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，
以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八
為實，以黃赤道大弦六十零度八七五為法除之，得一十七度二十五分十九秒為黃赤道小
弧弦。即內外半弧弦。置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實，以全徑地百二
十一度七十五分除之，得五分二十一秒為背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五
分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，為二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。
置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三零八九加之，得一百零八
度六十二分三十二秒七五，為冬至後四十四度太陽去北極度。
▲黃道每度去赤道內外及去北極立成
表格略
▲白道交周
推白赤道正交，距黃赤道正交北極數。術曰：「置實測白道出入黃道內外六度為半
徑弧弦，又為大圖弧矢，又為股弦差。置半徑六十零度七五自之，得三千七百零五度七
六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分為股弦和，加矢六度，共六百二
十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分，又為小句。又以二至出入半弧弦
二十三度七十一分為大句。以大句為法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七
分就整為度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，為容半長。置半徑
六十零度八七五為大弦，以乘小句五度七十分為實，以大句二十三度七十一分為法除之，
得一十四度六十三分為小弦，又為白赤道正交，距黃赤道正交半弧弦。 依法求行半弧
背一十四度六十六分，為白赤道正交距黃赤道正交極婁數。
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