理論是或多或少可以嚴格地檢驗的；這就是說，或多或少可以容易地證偽的。
它們的可檢驗性的程度對於理論的選擇是有意義的。
有這一章裡，我要通過比較理論的潛在證偽者類來比較它們不同的可檢驗度或
可證偽度。這個考察完全獨立於是否有可能在絕對意義上區別可證偽的和不可證偽
的理論這一問題。人們的確可以說，這一章通過表明可證偽性是一個程度問題而把
可證偽性的要求「相對化」。
31．綱領和例證
就如我們在第23節中看到的，假如至少存在一個同型基礎陳述的非空類，而這
些基礎陳述為一個理論所禁止；就是說，假如這理論的潛在證偽者類不是空的，這
個理論就是可證偽的。第23節中也說到，假如我們用一圓面積代表所有可能的基礎
陳述類，用圓的半徑代表可能的事情，那麼我們可以說，至少有一條半徑——也許
更確切地說，一條窄的扇形，它的寬度可以代表事件應是「可觀察的」這一事實—
—必須是和這理論不相容的，是為這理論所排除的。因此，人們可以用不同寬度的
扇形代表各種理論的潛在證偽者。按照這些理論排除的扇形寬度的大小，可以表明
理論具有或多或少的潛在證偽者（暫時不談這個「或多」「或少」是否可能精確測
定的問題）。因此可以進一步說，假如一個理論的潛在證偽者類比另一個理論的潛
在證偽者類「大」，那麼第一個理論就有更多的機會為經驗所反駁；因此，和第二
個理論相比較，第一個理論可以說具有「更高的可證偽度」。這也就意味著，第一
個理論關於經驗世界比第二個理論說得更多，因為它排除的基礎陳述類較大。雖然
允許的陳述類因而變得更小，這並不影響我們的論證；因為我們已經看到，理論對
於這個類並不斷言任何東西。因此可以說，一個理論傳達的經驗信息量，或者它的
經驗內容，隨著它的可證偽度的增加而增加。
現在我們設想：給我們一個理論，代表這理論禁止的基礎陳述的扇形變得越來
越寬，最後只留下一條窄的扇形代表著不為這理論所禁止的基礎陳述（假如這理論
是無矛盾的，就必定會有這樣的扇形留下）。像這樣的理論顯然很容易證偽，因為
它只允許經驗世界有一個很小範圍的可能性；因為它排除了幾乎所有可設想的，即
邏輯上可能的事件。它對經驗世界斷言如此之多。它的經驗內容如此之大，以至可
以說很少有逃脫被證偽的機會。
確切地說，理論科學的目的就在於獲得在上述意義上易於證偽的理論。它的目
的在於限制允許的事件到最小的範圍，假如能夠做到的話，小到這樣的程度，任何
進一步的限制就會導致這理論的實際的經驗的證偽。假如我們能成功地獲得這樣一
個理論，那麼這個理論就能描述「我們的特殊世界』精確到理論描述所可能達到的
程度；因為它會用理論科學所可能達到的最大的精確性，來從所有在邏輯上可能的
經驗世界類中挑選出「我們的經驗」世界來。所有我們實際遭遇到和觀察到的所有
事件或偶發事件類，而且只有這些，才稱作「被允許的」。
32．如何比較潛在證偽者類
潛在證偽者類是無限類。直覺的「較多」和「較少」，不要任何特殊保證條件
就可應用於有限類，卻不能同樣地應用於無限類。
我們不容易躲開這個困難。即使我們為作比較而考慮被禁止的事件類，而不考
慮被禁止的基礎陳述或偶發事件，為了弄清其中哪一個含有「更多的」被禁止的事
件，也不易躲開上述困難。因為某一經驗理論所禁止的事件數也是無限的，這點可
以從下列事實中看出：一個被禁止的事件和任何其他事件（不管它是否是被禁止的）
的合取又是一個被禁止的事件。
我將考慮三種方法，即使在無限類的情況下，也給予這直覺的「較多」或「較
少」一個精確的意義，以便找出其中哪一種可用來比較被禁止的事件類。
（1）類的基數（或冪）的概念。這個概念不能幫助我們解決我們的問題，因為
很容易看出，潛在證偽者類對所有的理論有著同一的基數。
（2）維的概念。立方體以某種方式包含比直線更多的點，這個模糊的直觀的觀
念，能夠通過集合論的「維」概念以邏輯上無懈可擊的術語清楚地表述。這種概念
對點的類或集是按照在它們的元素之間的「鄰域關係」的豐度加以區別的：更高維
的集具有更豐富的領域關係。維的概念，使我們能比較「較高」和「較低」維的類，
這裡將被用來處理比較可檢驗度的問題。這是可能的，因為基礎陳述通過和其他基
礎陳述的合取結合起來又產生基礎陳述，這個新產生的基礎陳述比它們的組成部分
「具有更高的復合度」；而基礎陳述的這個復合度可以和維的概念聯繫起來。不過，
必須使用被允許的事件的復合而不是被禁止的事件的復合。理由是，一個理論禁止
的事件可以有任何復合度；另一方面，某些被允許的陳述之所以被允許，只是因為
它們的形式，或者更確切地說，因為它們的復合度太低，以致使它們不能和該理論
相矛盾；可以利用這個事實來比較維。
（3）子類關係。設類α的所有元素也是類β的元素，因而α是β的子類（符號
表示：αβ）。那麼，或者β的所有元素也是α的元素——在這種情況下，我們說
這兩類具有相同的外延或者說它們是等同的——或者β的有些元素不屬於a。在後一
種情況下，不屬於α的β的元素形成「余類」或稱為α對於β的補類，α是β的一
個真子類。子類關係和直覺的「較多」和「較少」非常對應，但是，它的不利之處
是，這種關係只能用來比較兩個互相包含的類。所以，假如兩個潛在證偽者類不是
互相包含，而是互相交叉，或者它們沒有共同的元素，那麼，相應的理論的可證偽
度就不能用子類關係來比較；它們對於這種關係來說，是不可比的。
33．用子類關係比較可證偽度
暫時引進下列定義，以後在討論理論的維數時將加以改進。
（1）說陳述x比陳述y「更高度可證偽」或「更可檢驗」，或用符號表示：Fsb
（x）＞Fsb（y），當且僅當x的潛在證偽者類包含作為一個真子類的y的潛在證偽者
類。
（2）如果兩個陳述x和y的潛在證偽者類同一，則它們有相同的可證偽度，即：
Fsb（x）＝Fab（y）。
（3）如果這兩個陳述的潛在證偽者類並不作為真子類相互包含，則這兩個陳述
沒有可比的可證偽度（Fsb（x）∥Fsb（y））。
假如（1）適用，總是有一個非空的補類。在全稱陳述的情況下，這個補類必定
是無限的。因此，兩個（嚴格全稱）理論不可能有這樣的區別：其中一個理論禁止
為另一個理論所允許的有限數量的單個偶發事件。
所有重言的和形而上學的陳述的潛在證偽者類都是空的。所以，按照（2），它
們是同一的。（因為，空類是所有類的子類，因而也是空類的子類，所以，所有空
類是同一的；這一點可以表示為：只存在一個空類。）如果我們用『e』表示經驗陳
述，用『t』或『m』分別表示重言的或形而上學的陳述（例如，純粹存在陳述），
那麼我們可以給重言的或形而上學的陳述一個零可證偽度，我們寫作：Fsb（t）＝
Fsb（m）＝0Fsb（e）＞0。
自相矛盾的陳述（可以用（c）來表示），可以說是具有所有在邏輯上可能的基
礎陳述作為它的潛在證偽者類。這個意思就是說，任何陳述，就其可證偽度而言，
都是和自相矛盾陳述可比的。我們得出：Fsb（c）＞Fsb（e）＞0。如果我們任意地
設Fsb（c）＝1，即任意地把1賦予某一目相矛盾的陳述的可證偽度，那麼我們甚至
可以用條件1＞Fsb（e）＞0來定義經驗陳述e。按照這個公式，Fsb（e）總是在0和
1之間的間隔內，不包括兩端，即在以這兩個數字為界的「開放間隔」內。由於把矛
盾陳述和重言陳述（形而上學陳述也一樣）排除在外，這個公式同時表達了無矛盾
性的要求和可證偽性的要求。
34．子類關係的結構 邏輯概率我們已經用子類關係對兩個陳述的可證偽度的
比較下了定義。因此，可證偽度的比較就具有子類關係的所有結構性質。可比較性
問題可以用一個圖（圖1）來說明。在這個圖中，左邊畫的是某些子類關係，右邊畫
的是相應的可檢驗性關係。右邊的阿拉伯數字對應於左邊的羅馬數字，某一羅馬數
字表示相應的阿拉伯數字所表示的那個陳述的潛在證偽者類。在這個圖裡表示可檢
驗度的箭頭，從具有更可檢驗的或更可證偽的陳述走向不那麼可檢驗的陳述（因此
它們相當準確地與可推導性箭頭相當：參看第35節）。
從圖中可以看出，各種子類序列可加以區別和追溯，例如，序列Ⅰ－Ⅱ－Ⅳ或
Ⅰ－Ⅲ－Ⅴ；並且可以看出，引進新的中間類，可以使得這些序列更加「密集」。
所有這些序列在這個特殊情況下都始於1和終於空類，因為空類被包含在每一個類裡
（在左面的圖裡，不可能畫出空類，只是因為它是每一個類的子類，因此可以說必
須出現在每一個地方）。如果我們選擇類Ⅰ作為所有可能的基礎陳述類，那麼Ⅰ就
變成矛盾陳述（c），而0（相當於空類）就可以表示重言陳述（t）。從Ⅰ到空類，
或者從（c）到（t），可能通過各種途徑；從右邊的圖中可以看出，某些途徑可以
互相交叉。因此我們可以說，這種關係的結構是一種網絡結構（由箭頭或子類關係
排列成的「序列的網絡」）。在節結點（例如，陳述4和5）網絡部分地聯結起來。
只有在普遍類和空類裡，對應於矛盾陳述c和重言陳述t；關係才完全聯結起來。
是否可能把各種陳述的可證偽度排列在一個標尺上，即把按照它們的可證偽度
排列的數字同各種陳述相關起來？顯然，我們不可能用這種方法把所有的陳述排列
起來，因為，如果能夠的話，我們就會隨意地使得那些不可比的陳述成為可比的。
但是，我們完全可以從網絡中挑選出某個序列，用數字來表示該序列陳述的次序。
這樣做時，我們必須給離矛盾陳述c較近的陳述的數字，比給離重言陳述t較近的陳
述高。由於我們已經分別以0和1賦予重言陳述和矛盾陳述，我們就必須以真分數賦
予所挑選的序列中的經驗陳述。
然而，我並不真正想挑選出某一個序列來。賦予這序列中的陳述以數字也是完
全任意的。不過，可能給以分數這一事實有很大意義，特別是因為它說明了在可證
偽度和概率觀念之間的聯繫。每當我們能比較兩個陳述的可證偽度時，我們就能說，
可證偽度較小的陳述由於它的邏輯形式，也是概率較大的，這種概率我稱為「邏輯
概率」。不可把它和在博奕論和統計學中使用的數值概率相混淆。陳述的邏輯概率
和它的可證偽度是互補的：它隨可證偽度的減少而增加。邏輯概率1相當於可證偽度
0，反過來也是如此。具有更可檢驗度的陳述，即具有更高可證偽度的陳述，是在邏
輯上更少可幾的陳述；而可檢驗性較差的陳述是在邏輯上更可幾的陳述。
在第72節中將看到，數值概率能和邏輯概率聯結起來，因而也能和可證偽度聯
結起來。有可能把數值概率解釋為適用於（從邏輯概率關係中挑選出來的）子系列
的東西，可以在頻率估計的基礎上為這子系列規定一種測量系統。
這些對可證偽度比較的考察不僅適用於全稱陳述或理論系統；它們也可推廣應
用於單稱陳述。例如，它們適用於和初始條件合取的理論。在這種情況下，潛在證
偽者類不可被誤認為事件類——同型的基礎陳述類——，因為它是偶發事件類（這
點和將在第72節中分析的邏輯概率和數值概率之間的聯繫有某種關係）。
35．經驗內容、衍推和可證偽度
在第31節中說到，我稱之為陳述的經驗內容的東西隨著它的可證偽度而增加：
陳述禁止越多，它對經驗世界所說越多（參看第6節）。我稱為「經驗內容」的東西
和比如，Carnap定義的「內容」概念有密切的關係，但不是同一的。對於後者，我
使用術語「邏輯內容」，以與經驗內容相區別。
我定義陳述p的經驗內容為它的潛在證偽者類（參看第31節）。邏輯內容，借可
推導性概念之助，被定義為從該陳述中可推導出的所有非重言陳述類（可以稱作它
的「後承類」）。所以，p的邏輯內容至少等於（即大於或等於）陳述q的邏輯內容，
如q可從p中推導出來（符號表示：如『p→ q』）。如果可推導性是相互的（符號
『p←→q』），則說p和q有相同的內容如q可從p中推導出，而p不能從q中推導出，
則q的後承類，一定是p的後承類的一個真子集；則p具有更大的後承類，並且從而具
有更大的邏輯內容（或者邏輯力）。
我的經驗內容的定義的一個推斷是，兩個陳述p和q的邏輯內容和經驗內容的比
較導致相同的結果，假如作比較的陳述不包含形而上學要素的話。因此我們要求：
（a）有著相等的邏輯內容的兩個陳述也必定具有相等的經驗內容；（b）陳述p的邏
輯內容大於陳述q的邏輯內容，也必定具有更大的經驗內容，或者至少相等的經驗內
容；最後（c）假如陳述p的經驗內容大於陳述q的經驗內容，那麼它的邏輯內容必定
更大，否則就是不可比的。在（b）裡必須加上「或者至少相等的經驗內容」，這個
限制因為p例如可能是q和某個純粹存在陳述或其他某類形而上學陳述（我們必經賦
以一定的邏輯內容）的合取；因為在這種情況下，p的經驗內容將不大於q的經驗內
容。相應的考慮使得在（c）上加上「否則就是不可比的」這條限制成為必要。
因此，在比較可檢驗度或經驗內容度時，我們通常——就是說，在純粹經驗陳
述的情況下——達到和比較邏輯內容或可推導性關係時所達到的相同的結果。因此，
可能把可證偽度的比較在很大程度上建立在可推導性關係的基礎之上。兩種關係都
表明網絡的形式，這網絡在自相矛盾陳述和重言陳述裡完全地聯結起來（參看第34
節）。這一點可以下列說法表示：自相矛盾陳述衍推每一個陳述，而重言陳述為每
一個陳述所衍推。而且，我們已經看到，經驗陳述可被描述成這樣的陳述：它們的
可證偽度落在以自相矛盾陳述的可證偽度為一端，以重言陳述的可證偽度為另一端
的開放間隔中間。相同地，一般的綜合陳述（包括非經驗的陳述）也由於衍推關係，
被放置在自相矛盾陳述和重言陳述之間的開放間隔中間。
因此，和所有非經驗的（形而上學的）陳述都是「無意義的」實證主義命題相
對應的就會是這樣的命題：我在經驗的陳述和綜合的陳述之間，或在經驗內容和邏
輯內容之間所作的區別是多余的；因為所有綜合陳述必須是經驗的——即所有都是
真正的而不只是偽陳述。但是，我認為，這種使用詞的方式，雖然是可行的，並不
能把問題澄清，反而把問題混淆了。
因此，我把對兩個陳述的經驗內容所作的比較，看作等同於對它們的可證偽度
所作的比較。這就使得我們的方法論規則，即應該選擇那些能經受最嚴格的檢驗的
理論（參看第20節中反約定主義的規則），等同於這樣的規則：選擇具有最大可能
的經驗內容的理論。
36．普遍性水平和精確度還有其他的方法論要求，可以還原為對最大可能的經
驗內容的要求。其中兩個要求是突出的：對可能達到的最高水平（或程度）的普遍
性的要求，和對可能達到的最高精確度的要求。
考慮到這些要求，我們來考察下列可設想的自然律：
p：所有在封閉軌道中運行的天體作圓形運動，或者更簡潔地說，所有天體軌道
是圓。
q：所有行星軌道是圓。
r：所有天體軌道是橢圓。
s：所有行星軌道是橢圓。
在這四個陳述中存在的可推導性關係在我的圖中用箭頭表示。從p可以得出所有
其他的陳述，從q可以得出s，s也可從r得出；所以s可以從所有其他陳述得出。
從p移動到q，普遍性程度減少，q表達的比p少，因為行星軌道形成天體軌道的
一個真子類。因此，p比q更易於被證偽：如q被證偽，p也被證偽，但是反之不然。
從p移動到r，（謂語的）精確度減少：圓是橢圓的其子類；如r被證偽，p也被證偽，
但是反之不然。相應的話可以應用到其他的移動上：從p移動到s，普遍性程度和精
確度二者都減少；從q到s，精確度減少；而從r到s，普遍性程度減少。和較高程度
的普遍性或精確度相對應的是較大的（邏輯的，或）經驗的內容，因而有較高的可
證偽度。
全稱陳述和單稱陳述二者都可以寫成「全稱條件陳述」的形式（或者經常稱作
「一般蘊涵」）。假如我們把我們的四個定律寫成這個形式，那麼我們也許能更容
易和更準確地看到兩個陳述的普遍性程度和精確度是如何進行比較的。
全稱條件陳述（參看第14節注）可以寫成下列形式：『（x）（φx→fx）』，
或者讀為：「所有x的值，滿足陳述函項φx的，也滿足陳述函項fx」。我們的圖中
的陳述s產生下列例子：「（x）（x是一顆行星的軌道→x是一個橢圓）」的意思是：
「不論x是什麼，如果x是一顆行星的軌道，則x是一個橢圓」。設p和q是寫成這種
「標準」形式的兩個陳述；那麼我們可以說，p比q有著更大的普遍性，如果p的前件
陳述函項（可以用『φpx』來表示）是重言地蘊含於（或可合乎邏輯地推導於），
但是不等同於q的相應的陳述函項（可以用『φqx』來表示）；或換言之，如果『
（x）φqx→φpx』是重言的（或邏輯上真的）。同樣，我們說，p比q有著更大的精
確性，如果『（x）（fpx→fqx）』是重言的。即如果p的謂詞（或者後件陳述函項）
比q的謂詞更窄，這就意味著：p的謂詞衍推q的謂詞。
這個定義可以推廣到有著不止一個變量的陳述函項中。基本的邏輯變換從它導
致我們已斷言過的可推導性關係，這種關係可以用下列規則來表示：如果兩個陳述
的普遍性和精確性都是可比的，那麼，較不普遍或較不精確的陳述可以從較普遍或
較精確的陳述中推導出來；當然，除非一個更普遍而另一個更精確（如在我的圖中
q和r的情況）。
現在我們可以說，我們的方法論決定——有時被形而上學地解釋成因果性原理
——應不讓任何事情得不到解釋，即總是試圖從其他具有更高普遍性的陳述中推導
出陳述來。這個決定是從可達到的最高普遍性程度和精確度的要求中推導出來的，
而這個要求可以還原成這樣的要求或規則：應該選擇能經受最嚴格檢驗的理論。
37．邏輯域 略論測量理論
如果陳述p，由於具有更高水平的普遍性或精確性，比陳述q更易於證偽，那麼，
為p所允許的基礎陳述類是為q所允許的基礎陳述類的一個真子類。適用於被允許的
陳述類之間的子類關係，是適用於被禁止的陳述（潛在證偽者）類之間的子類關係
的對立物：這兩個關係可以說是相反的（也許可以說是互補的）。為一個陳述所允
許的基礎陳述類，可以稱作它的「域」。一個陳述允許實在有的「域」，可以說是
它允許實在「自由活動」的範圍（或者自由度）。域和經驗內容（參看第35節）是
相反（或互補）的概念。因此，兩個陳述的域的相互關係和它們的邏輯概率的相互
關係一樣（參看第34、72節）。
我引進域概念，因為它幫助我們處理和測量的精確度相聯繫的某些問題。假定
兩個理論的推斷在所有的應用領域裡區別是如此之小，以至在計算可觀察事件之間
的細微差別，由於在我們的測量中可達到的精確度不夠高而不能檢測到。因此，不
首先改進我們的測量技術，就不可能用實驗在這兩個理論中作出判定。這表明，現
行的測量技術決定了一定的域——一個範圍，在這個範圍內觀察其間的差別為理論
所允許。
因此，理論應該有可達到的最高可檢驗度（因此只允許最窄的域），這一規則
衍推這樣的要求：測量的精確度應盡可能提高。
人們經常說，所有測量都在於確定點的重合。但是任何這種確定只能在某些限
度內才是正確的。在嚴格的意義上，不存在點的重合。兩個物理「點」——比如，
在量桿上的一個標記，在被測量物體上的另一個標記——它們至多能做到靠得很近；
但不能重合，即不能合並成一點。不管在其他場合這個說法是如何的平凡，它對測
量的精確性來說是重要的。因為它使我們想到，測量應該用下列術語來描述。我們
發現，被測量的物體的點落在量桿的兩個級別或標記之間，或者比方說，我們的測
量儀器的指針落在刻度的兩級之間。然後我們可以或者把這些級別或標記看作我們
誤差的兩個最佳界限，或者去估計（比方說）指針在刻度間隔內的位置，因而得到
一個比較準確的結果。人們可以這樣描述這後一情況：我們使指針落在兩個想象中
的分級標記之間。因此，一個間隔、一個域總是存留著。物理學家的習慣是每一次
測量都要估計這個間隔。（因此，例如他們傚法Milliken用靜電單位測量電子的基
本電荷，得出e＝4．774﹒10-10，加上：不精確範圍是±O．005﹒10－10。）但是
這裡發生一個問題。人們用兩個標記——即間隔的兩個邊界——來代替刻度上的一
個標記的目的究竟是什麼，對於這兩個邊界的每一個，又一定會提出同樣的問題：
對於這間隔的邊界，什麼是準確性的界限呢？
給出間隔的邊界顯然是無用的，除非這兩個邊界本身能以大大超過我們對原來
的測量所希望達到的精確度確定下來；即在它們不精確的間隔內確定下來，這些間
隔因此應該比它們為原來的測量值確定的間隔小幾個數量級。換句話說，間隔的邊
界不是截然分明的，而實際上是很小的間隔，這個間隔的邊界本身仍然是更小得多
的間隔，等等。就這樣我們達到了可以稱為間隔的「不分明的邊界」或「縮聚邊界」
的觀念。
這些考慮並不以誤差的數學理論和概率論為前提。這走的是另一條迂迴的路；
通過分析測量間隔的觀念，這些考慮提供了一個背景，如果沒有這個背景，誤差的
統計理論就沒有什麼意義。如果我們測量一個量許多次，我們得到的數值以不同的
密度分佈在某一間隔——精確性的間隔依賴現行的測量技術。僅當我們知道我們追
求什麼——即這個間隙的縮聚邊界——我們才能把誤差理論應用到這些數值上，並
確定間隔的邊界。
現在我想所有這些多少說明了使用測量方法對於純定性方法的優越性。即使在
定性估計的情況下，例如對一個樂音的音高的估計，有時也可能為這種估計給出一
個準確性的間隔，這是正確的；但是，沒有測量，任何這樣的間隔只能是很模糊的，
因為在這種情況下，不能應用縮聚邊界的概念。這個概念只能在我們可以談到數量
級的地方因而只能在規定了測量方法的地方才適用。我將在第68節中，聯繫到概率
論，進一步運用精確性間隔的縮聚邊界這一概念。
38．聯繫維來比較可檢驗度
直到現在為止，我們僅在理論可以借助子類關係來作比較的範圍內來比較它們
的可檢驗度。在某些情況下，這個方法在指導我們選擇理論方面很成功。因此現在
我們可以說，在第20節中舉例說到的Pauli的不相容原理的確證明是一個令人滿意的
輔助假說。因為它極大地增加了舊的量子論的精確度，因而增加了可檢驗度（如新
量子論的相應的陳述斷言：電子具有反對稱狀態，而不帶電粒子和某些帶大量電荷
的粒子具有對稱狀態）。
然而，對於很多目的來說，用於類關係的方法來進行比較是不夠的。因此，例
如Frank指出，具有高水平的普遍性的陳述——例如Planck公式裡的能量守恆原理—
—易於變成重言的，失去它們的經驗內容，除非初始條件可以「……用少數測量，……
即依靠系統狀態特有的很少幾個量值」來確定。關於必須確定和代入公式的參量的
數目的問題是不能借助子類關係的幫助來闡明的，儘管它是顯然與可檢驗性和可證
偽性以及它們的程度密切聯繫著的。確定初始條件需要的量值越少，足以使理論被
證偽的基礎陳述就越不是復合的；因為起證偽作用的基礎陳述，是由初始條件和推
導出的預見的否定二者的合取組成的（參看第28節）。因此，通過弄清一個基礎陳
述必須有的最小復合度（如果它能夠與理論矛盾的話），就有可能比較理論的可檢
驗度；只要我們能找到一種方法來比較基礎陳述以弄清它們是否更（或不那麼）復
合的，即是否是大量（或小量）比較簡單的一種基礎陳述的復合物。所有復合度沒
有達到必要的最低限度的基礎陳述，不管它們內容如何，只是由於它們的低復合度，
就都是為理論所允許的。
但是，任何這樣的綱領都面臨著困難。因為一般地說，單靠檢查，是不容易說
出一個陳述是否是復合的，即是否等於更簡單的陳述的合取。在所有的陳述裡，都
出現普遍名稱，通過分析它們，人們往往能把陳述分解為合取的組分（例如，陳述：
「在k地有一玻璃杯水」也許可以被分析和分解成兩個陳述：「在k地有一玻璃杯盛
著一種液體」和「在k地有水」）。用這種方法來分解陳述，沒有希望找到任何自然
的終點，特別是因為，我們為了使進一步分解成為可能，總能引進新的已定義的普
遍名稱。
為了使得所有基礎陳述的復合度成為可比的，可以建議：我們必須選擇一定的
陳述類作為基本的或原子的陳述，然後通過合取和其他的邏輯運算就能夠從這些基
本或原子陳述中得到所有其他陳述。如果成功，我們就應用這種方法來定義復合的
「絕對零度」，然後可以把任何陳述的復合表示為可以說是絕對復合——度。但是
由於上面已經說過的理由，這樣一種程序必須被認為是非常不適當的；因為它會給
科學語言的自由使用施加苛刻的限制。
然而，比較基礎陳述的復合度，因而也比較其他陳述的復合度，仍然是可能的。
可以這樣做：任意選擇一個相對的原子陳述類，我們把它作為進行比較的基礎。這
樣一種相對原子陳述類可以用生成的圖式或母式來定義（例如，「在……地方為了……
有一個量器，它的指針指在刻度……和……之間」）。然後，我們可以把通過代入
確定值，從這種母式（或者陳述函項）中得到的所有陳述類定義為相對原子的，因
而定義為等復合的。這些陳述類，與所有可從這些陳述形成的合取一起，可以稱之
為一個「場」。一個場的n個不同的相對原子陳述的合取，可以稱之為「這場的n組
復合」，並且我們可以說，它的復合度等於數n。
如果對一個理論t，存在這樣一個單稱（但是不一定是基礎）陳述場：對某個數
目d，理論t不能為這場的任何d組復合所證偽，雖然它能為某些d＋1組復合所證偽，
那麼我們稱d為理論對於那個場的特性數。因此，這場的復合度低於d或等於d的所有
陳述是同這理論相容的，是為這理論所允許的，不管這些陳述的內容是什麼。
現在就有可能把對理論的可檢驗度的比較建立在這個特性數d的基礎之上。但是
為了避免在使用不同的場時可能造成的不一貫，有必要使用一個比場這一概念更窄
的概念，就是應用場的概念，如果已知理論t，我們說一個場是這理論t的一個應用
場，假如對於這個場，存在理論t的一個特徵性數字d，而且假如它滿足其他一些條
件。
一個理論t對於一個應用場的特性數d，我稱之為t對於這個應用場的維。「維」
這個詞本身就說明了問題，因為我們可以把場的所有可能的n組復合看作有空間結構
的（在無限維的構型空間中）。例如，若d＝3，則那些可允許的陳述（因為它們的
復合度太低）形成這個構型的一個三維的子空間。從d＝3過渡到變為d＝2，相應於
從立體過渡到為平面。維數d越小，容許的陳述類（這些陳述由於它們的復合度低，
不管內容如何，不能與這理論矛盾）受到的限制就越嚴格，這理論的可證偽度就越
高。
應用場的概念不限於基礎陳述，但各種單稱陳述都被容許作為屬於一個應用場
的陳述。但是通過借助場比較它們的維，我們能估計基礎陳述的復合度（我們假定，
與高度復合的單稱陳述相應的是高度復合的基礎陳述）。因此可以假定，與較高維
的理論相應的是一個較高維的基礎陳述類，這個類的所有陳述為這理論所容許，不
管它們斷言的是什麼。
這回答了兩種比較可檢驗度的方法如何聯繫的問題——一種方法通過理論的維，
另一種方法通過子類關係。有這樣一些情況：這兩種方法都不適用，或者只有其中
一種方法適用。在這種情況下，在這兩種方法之間當然沒有發生沖突的余地。但是
如果在一種特殊情況下，這兩種方法都適用，那麼可以想象會發生這種的事：兩個
理論有相同的維，但是，假如用建基於子類關係的方法來評價，可能有不同的可證
偽度。在這種情況下，從後一種方法得出的判斷應該被接受，因為這一種方法證明
是比較靈敏的方法。在這兩種方法都適用的所有其他情況下，它們一定會導致相同
的結果；因為，借助維理論的一條簡單定理可以表明：一個類的維一定大於或等於
它的子類的維。
39．曲線集的維
有時我們可把我所說的一個理論的「應用場」很簡單地等同於它的圖形表示場，
即圖紙上的一塊面積，我們在這張圖紙上用圖形表示理論：可認為這個圖形表示場
的每一點相應於一個相對原子陳述。因此理論相對於這個場的維，就等於相應於這
理論的曲線集的維。我將用第36節中的兩個陳述q和s來討論這些關係（我們用維作
比較適用於具有不同謂詞的陳述）。假說q——所有行星軌道都是圓——是三維的：
要證偽它，至少需要這場的四個單稱陳述，相應於它的圖形表示的四個點。假說s：
所有行星軌道都是橢圓，是五維的，因為要證偽它，至少需要六個單稱陳述，相應
於圖形上的六個點。我們在第36節裡看到： q比s更易證偽：因為所有圓都是橢圓，
所以有可能把比較建基於子類關係之上。但是使用維使我們能比較以前不能比較的
理論。例如，我們現在可以比較一個圓假說和一個拋物線假說（它是四維的）。
「圓」、「橢圓」，「拋物線」，每一個詞表示一個曲線類或集；這些集中的每一
個集有d個維，假如挑選出這集中的一條特定曲線，或者給以特徵描述，d點是必要
和充分的話。在代數表示式裡，這曲線集的維依賴於參量的數目，這些參量的值我
們可以自由選擇。所以我們可以說，用以表示一個理論的一個曲線集的、可以自由
測定的參量的數目，是那個理論的可證偽（或可檢驗）度的特性數。
與我的例子中的陳述q和s相聯繫，我願意對Kepler發現他的定律作一些方法論
的評論。
我並不想提出這樣的看法：完美的信念——指導Kepler作出發現的助發現原理
——是有意或無意地由對可證偽度的方法論考慮所引起的。但是，我的確認為，Ke
pler取得成功部分地由於這一事實：作為他出發點的圓假說，相對地說是易於證偽
的。假如Kepler從由於其邏輯形式不是如圓假說那樣易於檢驗的假說出發，考慮到
計算的困難，這種計算的基礎是「在空中」——可以說，漂浮在天空中，以不知道
的方式在運動，他很可能得不到任何結果。Kepler通過證偽他的圓假說達到的毫不
含糊的否定結果，事實上是他的第一個真正的成功。他的方法也被證明完全正確，
因而他可以繼續進行下去；特別是因為，即使這第一步嘗試也已經產生一些近似值。
無疑，Kepler定律可以用另外的方法找到。但是我想，這是引致成功的方法，
這一點不僅是偶然的。這相當於消去法，僅當理論足夠易於證偽——足夠精確，能
夠和觀察經驗相沖突時，這種方法才是可應用的。
40．兩種減少曲線集維數的方法非常不同的曲線集可以有相同的維。例如，所
有圓的集是三維的；但是所有通過一個給定點的圓的集是一個二維集（和直線集一
樣）。如果我們要求圓應該都通過兩個給定點，則我們得一個一維集，如此等等。
每一個添加的要求，即一個集的所有曲線必須通過多一個給定點，減少這個集的一
個維。零維類
一維類
二維類
三維類
四維類
直線
圓
拋物線
通過一個給定點的直線
通過一個給定點的圓
通過一個給定點的拋物線
通過一個給定點的圓錐曲線
通過兩個給定點的直線
通過兩個給定點的圓
通過兩個給定點的拋物線
通過兩個給定點的圓錐曲線
通過三個給定點的圓
通過三個給定點的拋物線
通過三個給定點的圓錐曲線
除增加給定點數的方法以外，還有其他方法也可以減少維數。例如，給定長短
軸比的橢圓集是四維的（和拋物線集一樣），已知偏心率數值的橢圓集也是這樣。
從橢圓過渡到圓，當然等於指定一個偏心率（0）或者一個特定的長短軸比（1）。
因為我們對評價理論的可證偽度感興趣，現在我們要問：這些減少維數的種種
方法對於我們的目的來說是否是等價的，或者我們是否應該更仔細地考察它們的相
對價值。一條曲線必須通過一定的單一點（或小區域），這樣的規定常常是聯接於
或相應於某一單稱陳述即一個初始條件的接受。另一方面，比方說從一個橢圓假說
過渡到一個圓假說，顯然相應於理論本身的維的減少。但是，如何區別清楚這兩種
減少維的方法？一種減少維的方法並不根據有關曲線的「形式」或「形狀」的規定
來進行；即例如通過指定一個或更多的點，或者通過某種等價的規定來減少維，我
們可以給這種方法一個名稱：「內容的減少」。在另一個方法裡，曲線的形式或形
狀規定得更窄，例如，我們從橢圓到圓或從圓到直線等等，我稱之為維數的「形式
的減少」的方法。
然而，要使得這個區別截然分明是不很容易的。這一點可以這樣來看：減少理
論的維用代數術語來說意味著以常數代替參數。現在，我們如何能區別不同的以常
數代替參數的方法，是不大清楚的。從橢圓的一般方程過渡到圓的方程這種形式的
減少，可以被描述為使一個參數等於0，使第二個參數等於1。但是，如果另一個參
數（絕對項）等於0，那麼這就意味著內容的減少，就是規定橢圓的一個點。但是，
我想，如果我們看到它和普遍名稱問題的聯繫，就有可能使得區別清楚起來。因為
內容的減少引進一個個別名稱到有關曲線集的定義中，而形式的減少則引進一個普
遍的名稱。
讓我們設想，也許根據「直指定義」，給予我們某一個別的平面。在這個平面
上的所有橢圓集可以用橢圓的一般方程來定義；圓集可以用圓的一般方程來定義。
這些定義不依賴於我們在這平面的什麼地方畫與它們有關的（Descartes）坐標；因
此，它們不依賴於坐標的原點和方向的選擇。特定的坐標系統只能由個別名稱來決
定；比方說由直接指定它的原點和方向來決定。由於橢圓（或圓）集的定義對於所
有Descartes坐標是相同的，它不依賴於這些個別名稱的規定：它對Euclid群的所有
坐標變換（位移和相似變換）是不變的。
另一方面，假如人們想定義共同的在平面上有著一個特殊個別點的橢圓（或圓）
集，那麼我們就必須運用一個方程，它對於Euclid群的變換不是不變的，而是和一
個單稱的，即個別地或直指地規定的坐標系統相聯繫的。因此，它是和個別名稱相
聯繫的。
可以把這種變換安排在一個等級系統裡。對於比較一般的變換群是不變的一個
定義，對於比較特殊的變換群也是不變的。對於一個曲線集的每一個定義，有一個
它特有的（最一般的）變換群。現在我們可以說：一個曲線集的定義D1與一個曲線
集的定義D2「同樣一般」（或比它更一般），假如D1和D2（或一個更一般的定義）
對於同一個變換群都是不變的話。一個曲線集的維的減少現在可以被稱為形式的，
假如這個減少並不減弱定義的一般性；否則它可以被稱為內容的。
如果我們通過考慮它們的維來比較兩個理論的可證偽度，顯然我們必須在考慮
它們的維的同時考慮它們的一般性，就是它們對於坐標變換的不變性。
按照理論（如Kepler理論）事實上是否作出了關於世界的幾何陳述，或理論是
否只是在它可以用圖形來表示的意義上是「幾何的」——例如，表示壓力依賴溫度
的圖形，上述程序當然必定是不同的。對後一種理論，或相應的曲線集提出這樣的
要求：它的定義必須對於比方說坐標系統的旋轉是不變的，這是不適當的；因為在
這些情況下，不同的坐標可以表示完全不同的東西（一個是壓力，另一個是溫度）。
這就是我對用以比較可證偽度的方法的闡述的結論。我相信這些方法能幫助我
們闡明認識論問題，例如簡單性問題，我們接著就要討論這個問題。但是，我們將
要看到，還有其他問題通過我們對可證偽度的考察而得到新的說明；特別是所謂
「假說的概率」或驗證的問題。
追記（1972）
這本書的比較重要的思想之一是關於理論的（經驗的或信息的）內容的思想
（我們稱自然律為「律」不是沒有道理的：「它們禁止越多，它們說得越多」。比
較：上面第41頁和第112頁以後）。
在前一章裡我強調兩點：（1）理論的內容或可檢驗性（或簡單性：參看第七章）
可以有度，因此可以說這度使得可證偽性概念相對化了（它的邏輯基礎仍然是否定
後件假言推理）。（2）科學的目的——知識的增長——可以是和我們的理論的內容
的增長完全一致的。（參看我的論文：『The Aim of Science』，載Ratio Ⅰ，19
57 PP．24－35，〔經過修改〕重載Contempo－rary Philosophy．ed R．Klibansk
y 1969，PP．129－142；現又為我的書Objectiue Knowledge：An Euolutionary A
pproach的第5章，這書即將由Clarendon Press出版。）最近我進一步發展了這些思
想；特別參看我的Conjec-tures，and Refutatinns第10章，1963年版和以後的版本。
兩個新觀點是：（3）內容或可檢驗性概念聯繫到正在討論的問題或問題集而進一步
相對化（在1934年我已經把這些概念聯繫到應用場而相對化了）。（4）引進理論的
真性內容和它對真理的近似或接近（「逼真性」）的概念。
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