一、感覺強度的估計
二、感覺強度定律的數學表達
三、負感覺值的意義；刺激單位和感覺單位
一
鑒於某些明顯的原因，也許會提出這樣的問題，即我們已經發現的定律是否對我們
的感覺量值的定量估計（quantitative estimation of sensation－maggnitudes）有
用，或者說它是否只具有一個十分有限的意義。對此我們已經查明：刺激增強與恰好可
以覺察到的感覺差別（sensation－difference）之間存在一定的比例。但是，事實上，
我們可以很容易發現，這一比例關係的確定，只不過是確定一種更加普遍的依存關係的
一個特例。
沒有人會懷疑這樣一種可能性，即一個十分小的感覺差別可以逐漸轉化成一個十分
大的感覺差別。假設我們使一個感覺增加一個最小可覺量，並且我們讓這第二個感覺再
次增加一個最小可覺差，那麼第一個感覺與第三個感覺之間的差別比第一個感覺與第二
個感覺之間的差別更加明顯。如果我們用這種方式一直進行下去，每次總是增加一個最
小可覺增量，最終我們將會達到一個感覺強度（sensation-dntensity），它非常之大，
事實上遠遠超過我們最初設立的那個感覺強度。而且，我們會相應地達到一個十分明顯
的刺激強度差異（difference of stimulus－intensity）。如果我們直接從一個弱刺
激轉化到一個強刺激，因而也從一個弱感覺轉化到一個強感覺，我們將不可能得到有關
感覺依賴於刺激的任何一種確切信息。采取這樣一些從感覺到感覺的步驟，我們將不可
能去確定感覺是否隨著刺激以相同的比例增強。如果我們試圖在如此之大的感覺差別之
間進行選擇的話，我們將很難獲得一個結果。但是，如果我們逐漸增大刺激，從一個最
小可覺感覺差恆定地過渡到另一個最小可覺感覺差，則我們就能獲得一個結果。若要估
算一種感覺比另一種感覺強出多少，單單通過將它們直接進行比較是十分難以確定的，
正如難以說出一垛小麥比另一垛小麥多出多少麥粒一樣。如果我們要想知道結果，我們
必須去計算每一粒麥子。相似地，如果我們希望知道第二種感覺比第一種感覺強出多少，
最好的辦法是把感覺分解成要素(elements），它們等於最小可覺差。
下面這種方法是正確的，我們不能把一種感覺與另一種感覺進行更多的比較。但是，
如果我們一俟建立了一種感覺單位（sensatio－unit），我們就很容易通過與之比較來
決定任何一種其他感覺的量值。讓我們假設我們采用1克重量之壓力所產生的感覺，以
此作為皮膚壓力感受性（pressure-sensibility）的單位。我們發現，就壓力感覺來說，
感覺隨著刺激的增加而增加的關係可以用分數1／3來表示。即如果要使壓力感覺產生一
個最小可覺增量，外部壓力必須增加其強度的1／3。因此，我們剛剛能夠將1又1/3克與
1克區分開來，而我們也只能分辨2％克與2克或者4克與3克等等。如果現在我們把所有
可以分辨的感覺增值視作同等的量值，那麼很明顯，由1克壓力引起的最小可覺感覺增
量，等於比如10克的壓力所產生的最小可覺感覺增量。於是，我們可以認為，任何一個
強度引起的感覺增加是由或多或少最小可覺感覺增量組成的。我們可以假定這些量值便
是外界刺激情好引起一個感覺的量值。現在，我們能夠給出感覺強度的數量表達式，無
論它是如何的大或是如何的小。一個感覺強度是另一個感覺強度的2倍、3倍或4倍，那
麼它是由2倍、3倍或4倍這麼大的相等感覺增值組成。這個測量體系認為，我們的感覺
是隨著逐漸增加的量值而增加的。但是，嚴格地說來，在所有的測量當中，它只是一個
例證。我們所擁有的一切測量都是由一系列測量單位（measurement－units）組成。我
們為感覺測量而選擇的單位就是最小可覺的增值。如果一個感覺比之另一個感覺在單位
上是後者4倍的數值，那麼它的感覺就是另一個感覺的4倍；正如在一桿標尺上我們把每
4英尺作為一個標志，則它的單位就是一個1英尺標尺單位的4倍。如果我們僅僅根據長
度來估算兩個標尺的關係，這樣的比較也許就不很精確。一個精確的判斷只有通過運用
相同的測量單位才有可能。對感覺來說也是如此。
然而這種以將最小可覺差相加來測量不同強度之感覺的方法是十分繁瑣的。一旦我
們知道了感覺增加與刺激增加之關係的定律，我們就可以很容易而且十分迅速地達到我
們的目的。這個定律已經公式化，我們可以預計，刺激增加有多大，它所引起的感覺增
加也有多大。
事實上，我們已經掌握了這個定律。韋伯定律告訴我們，如果相應的感覺增加要被
覺察的話，那麼刺激必須以一個相似的比例增加。所以，為了這個特殊的目的，任何一
個感覺測量問題現在可以用這樣一種形式來表示：如果我們將刺激增加確定的幾個單位，
那麼根據韋伯定律，一個給定的感覺會增加多少單位或多少相等的可覺量值？或者，逆
向推論的話，為使一個感覺可以增加確定的幾個感覺單位，必須使給定的刺激為多大？
為了便於說明，讓我們再次討論一下壓力感覺問題。你們也許還記得，為使感覺增加一
個單位，在1克重量上必須加上1／3克才能產生增加的感覺。假定現在我們想知道為了
使感覺增加6個單位，必須增強多少壓力。我們想象把感覺單位排列成一個坐標，在這
個坐標的零點上，我們放上重量為1克的刺激，並在此畫一垂直線，以任何一個長度來
代表這個克數。現在，為了表示感覺增加一個單位所對應的壓力量值，我們必須延長垂
直線，即在1處延長自0處而來的1／3垂直線。
類似地，在坐標2處延長自1處而來的1／3垂直線，在坐標3處延長自2處而來的1／3
垂直線，等等。由於垂直線是連續增加的，因此這些增加的部分也逐漸變大；根據我們
的坐標，我們依次畫出不斷增加長度的坐標線。很清楚，這些線中的每一條線的量值代
表了自0點處以同樣關係所畫的垂直線的量值，而所謂同樣的關係，是指坐標上標示的
引起感覺增加的重量，是以最初的重量1克為基礎的。問題是必須有多重的重量用來產
生一個相當於6個感覺單位的感覺差異，我們現在只要測量坐標6處的垂直線比坐標0處
的垂直線長多少便可做到。
如果我們根據感覺坐標所代表的刺激量值把所畫的垂直線的上端連接起來，我們就
獲得了一個曲線，即當我們由低至高趨近坐標的更高值時，它十分陡峭地上升。很顯然，
這條曲線表明了我們測量的感覺強度對相應的刺激的依賴關係，不僅僅可以應用於1、2、
3點上，而且也可以應用於處於這些點之間的所有點上，例如，應用於1又1/4、1又1/2
等等。如果我們希冀去發現處於兩個單位值之間的某個特別的點的刺激強度是多少，那
麼我們只需利用這條代表著刺激變化的曲線，通過作垂直線就可以找到此點所需的刺激
強度的量值，它可用這條垂直線的長度來表示。當然，與坐標L兩個單位值之間的一個
點相對應的感覺差別不會被我們所覺知；但是，就此推斷它根本不存在，那就十分錯誤
了。這是因為，我們可以通過大量地累積許多難以分辨的差異來獲得一個可以分辨的差
異。根據我們的闡釋，這個最小可覺的感覺差異正巧落在l、2、3點之L，這僅僅是一種
偶然。如果我們把起始重量規定為l／2克或者3／4克，而不是1克，那麼整個坐標將向
左移動，而現在坐標上的數字點就會落在第二種坐標的兩個數值之間。但是，感覺隨刺
激強度而變化的規律仍像先前一樣保持著。我們在任何一個坐標上的測量都是不連續的，
而坐標本身是連續的。你們可以看到，我們無法從一個重量繼續到另一個重量，以便通
過所有可能的中間重量（intermediate weights）；但是我們可以在2克之間插入1／10
克、1％克、1□克，甚至可以是萬分之一克，如果我們希望進一步精確重量的話。但是
沒有人會認為一個小於萬分之一克的重量根本不是重量。正是存在著運用天平也難以測
出的重量差別，所以也就存在著我們難以覺察的感覺差別。
現在，毋庸置疑的是，我們曾用來測量感覺的坐標並不特別適宜於該測量的目的。
我們從這個最簡單的可能的刺激量值入手，即我們從1克所產生的壓力單位入手，把我
們坐標上的零點與該點相對應，從它開始向右填入我們的感覺單位。但是，當我們這樣
做的時候，我們沒有把自己置於這樣的境地，即為了獲得一個確切的感覺單位的增加，
我們除了必須在1克之上增加多少重量外，還可以得出其他什麼結果；或者說，當我們
受到一個更大量值的重量刺激時，在1克的壓力感覺上已增加了多少感覺單位？至少，
我們不知道由1克重量產生的感覺究竟有多大；也就是說，在一個坐標上從零點往左還
有多少個感覺單位可以估算。很顯然，用以測定的一個方法是，我們從感覺單位著手，
而不是從確切的刺激單位著手；據此，從感覺開始的那個點進行測量。如果我們希望把
我們的坐標變成一個自然坐標，我們將把這個感覺開始產生的點作為零點。但是，該點
並非同時是刺激的零點。有些刺激如此之微弱，以至於它們根本無法被感覺到。為了產
生一個感覺，刺激必須達到某一確定的量值，在具體的情形中，它是由感覺器官的特性
來決定的。這裡所述的情形與感覺差異相似。只有當刺激差別達到一個確定的強度時，
它們才能被覺察到。同樣，當刺激達到一個確定的量值時，一般說來感覺才能被覺察到。
也許，可以假設這兩種情形不僅相似，而且是完全相同的，也即產生一個感覺所必需的
刺激強度，等於使一個最小可覺的感覺差異得以產生的刺激差異強度。但是，很容易看
到這是不可能的。一個刺激差異的強度總是直接依賴於整個刺激強度，並且隨著後者的
減弱而減弱。所以，如果刺激變得無限小時，我們必須去假設刺激差異也肯定變得無限
小。然而，這樣做為實驗條件所限制，實驗條件告訴我們，每一種刺激若要產生一個感
覺的話，它必須達到一個確定的量值。
因此，如果我們遵循我們前述的方法，用垂直線去表示與感覺系列相對應的刺激，
那麼我們必須在零點上畫一條線，它的長度代表一個恰好產生可以分辨的感覺的刺激量
值。如果我們保持壓力感覺，就會發現l／50克是該重量的量值，它足以產生一個恰好
可以分辨的壓力感覺。我們將在零點處用垂直線表示這個重量。在1處（它離開0點的距
離等於一個最小可覺的感覺差異），根據感覺對刺激的依賴關係，代表刺激的垂直線將
延長1／3。也就是說，該刺激的起始量值是1／50或者3／150，在這兒等於4／150。簡
而言之，我們在前面坐標的基礎上獲得了感覺隨著刺激增加而增加的相互關係（見圖
3），所不同的是，現在位於0處的新垂直線代表的是1／50克，而不是1克。
為了回答來自感覺方面的所有這些問題，這樣兩種測量方法一般來說已經足夠了：
首先，是對感覺強度隨著刺激強度的變化而變化的恆常關係的測量；其次，是對這個最
小可覺的感覺的測量。第一種測量能使我們劃分感覺坐標，憑借刺激的幫助，我們可以
將它按相等的部分劃線。第二種測量為我們提供了零點，因此使得該坐標便於實際應用。
如果我們在壓力領域已經發現常數比率（constant ratio）為 1／3，而且這個最小可
覺的感覺由1／50克所產生，我們就可以免除所有進一步的測量，並且解決出現在我們
面前的任何一個問題。假設我們想知道由1克的壓力所產生的一個感覺強度，我們便以
零點為起點，使用這個坐標。零點的壓力是1／50克，位於1處的壓力要比它大1／3；位
於2處的壓力又要比1處的壓力大1／3，等等。我們將這個過程繼續進行下去，直至我們
達到1克所產生的壓力，然後根據我們的感覺坐標把達到這個點所需的所有單位加起來。
我們會發現我們幾乎已經運用了14個單位，所以，如果我們開始用1／50克的重量壓在
皮膚上，然後用1克的重量壓在皮膚上，那麼我們已經越過14個最小可覺差。我們越是
接近1克，與最小可覺差相對應的壓力差異也就越大。第一個單位與起始刺激的1／3相
對應，或者說與1／150克相對應。如果感覺直接隨著刺激而增加，則我們的14個單位將
與14／50克的增加而非1／3克相對應；而且，事實上，它們需要49／50克的壓力增加，
差不多相當於1克。
二
這種決定感覺強度的方法（通過逐漸把刺激從弱提高到強以產生一個最小可覺差），
在實際應用方面會變得十分繁瑣。直接的觀察將具有更為簡潔這一好處。因此，我們對
於這個問題本身，提出是否可以發現某個更為簡潔的方法，以便讓我們只需通過一步就
可以從1／50克達到1克，而毋須像我們上面所做的那樣，運用不少於14個中間步驟。這
個問題也許可用肯定來回答，因為對存在於感覺和刺激之間的依賴關係的考慮會使我們
信服。
感覺和刺激在量值上是相互獨立的，兩者都能用數字來表示。代表感覺的數值隨著
刺激數值的增加而增加。在這一情形中，最簡單的關係將是很明了的：與刺激相對應的
是數字1、2、3等等，也存在用那些數字來表示的感覺。於是，我們可以說，感覺強度
是與刺激強度直接成正比的。然而，這種簡單的關係難以把握，刺激增加要比感覺增加
更為迅速。當然，在一個數字系列比另一個數字系列增長得更快方面，現在有無數種形
式可以用來表示這些數值之間的依存關係，例如，如果我們將每一個數自身相乘，這樣
我們便從數字系列l、2、3、4……獲得另一個數列為1、4、9、16……。眾所周知，第
一個數列是第二個數列的平方根；後者為前者的平方，或者為第一個數列的二次冪。所
以，如果用這兩列數字來表示刺激和感覺之間關係，我們應該說，感覺相等於刺激的平
方根。一個相似的數列（它與這個數列的差別僅僅是以更快的速度增加）可以通過把每
個數字乘以本身兩倍或者三倍來獲得，於是達到了它本身的三次冪或者四次冪。如果這
些數列中的任何一個數列表示刺激增加的速率，我們就可以說，感覺等於刺激的三次方
根或者四次方根。但是，感覺強度的增加既非平方根，也非立方根，或者是刺激強度的
其他任何方根。從這一事實中可以很清楚地看到，刺激增加與其引起的確定的感覺強度
的增加是整個刺激量值的一個常數比。因此，既然有關的刺激增加總是保持相等，那麼
代表刺激的有關數字的增加也必須是一個常數。這在所引證的數列中並不存在這樣的事
實。例如，在數列l、4、9、16中，數字的增加應依次為3、5、7，而這些增加是與l、4、
9有關的；但是，由此得到的比例為3／1。5／4、7／9，它們並不相等。如果這個例子
事實上遵循著感覺的定律，我們必須獲得3／1、6／2、12／4等這樣的分數，或者是其
他一些特定的常數結果。但是，既不是二次冪也不是三次冪或者其他任何冪次方給出了
這樣的數列。
另一方面，存在著另一種應用非常普遍的數字關係，它精確地對應於感覺和刺激之
間的關係。
如果我們稍稍注意一下一個普通的對數表，我們就可以發現表中的數字是以兩個縱
列排列的；其中一列包含普通數字，另一列為其相應的對數值。我們立即可以看到，後
者的增加比普通數字的增加要緩慢得多，如同感覺增加的量值比刺激增加的量值緩慢得
多一樣。對於數字1，它排列在一邊，我們發現作為它的對數的0是排列在另一邊的。10
的對數為1，100的對數為2，等等。這裡，對於數字和它們的對數來說，我們看到這兩
個系列以十分相異的方式增加。如果我們觀察得更仔細些，我們就會發現比外在的相似
性更大的相似性。l、10、100、1000的對數為0、l、2、3，這些數字的增加與它們的量
值之間存在怎樣的關係呢？當1增加到10時，增加了9；當10增加到100時，增加了90；
當100增加到1000時，增加了900。因此，它們的增加比率為9／1、90／10、900％。這
些比率是相等的，例如，都等於9。現在，這個式子可以表示感覺增加的規律。感覺是
以相同的量值增加的，而刺激的增加是這樣的：它的每一次增加都與這一特定的整個刺
激量值之間存在一個常數關係；對數以相等的量值增加，而此時它們數值的增加是這樣
的：它的每一次增加與相對應的量值之間總是存在相同的比率關係。所以，我們可以說，
當刺激以其數字關係增加時，感覺是以對數關係增加的；或者，更為簡潔地說（我們可
以用某種確定的數字來表示任何一種刺激量值），感覺作為刺激的對數而增加。
對數表在心理學認識到它們的必要性前很久就已被人們自然地使用了。事實上，感
覺對刺激的依存關係的表達僅僅是一種十分簡單的關係的表達，它頻繁地出現在量值依
存性的表達上。例如，對數0，l，2，3以相同量1每一個區別於相鄰值，而對應的數1，
10，100，1000以同樣的倍數（即每一例值的10倍）彼此不同。但是這樣我們具有的求
對數的唯一法則，那麼這一過程也十分繁雜。幸好，事情是十分簡單的。如果我們把一
個數自乘到其全部可能次冪，我們也就能從這個數得到另一組數值。於是10的1次方＝
10，10的2次方＝100，10的3次方＝1000。很清楚，通過這種將一個數自乘的方法，我
們可以獲得任何一組數值。如果我們把1又1/4。1又1/3、1又1/2作為10的指數，我們會
得到一組落在10和100之間的數值。如果我們把2又1/4、2又1/3、2又1/2作為10的指數，
所得到的數據在100和1000之間。而且，如果我們把所有可能的分數作為指數，那麼我
們將會獲得10和100，100和1000等等之間所有可能的數字。為了獲得小於10的數字，我
們不能乘以數字10，而是把它自除若干次。正如數學家所說，我們必須計算它的負數次
冪。這樣10的-1次方＝1／10，10的-2次方＝1％等等。而在10和10的-1次方之間存在10
的0次方，也就是1。如果我們用這些負冪次方中的分數作指數，那就可以得到這些分數
所能得到的一切結果；從指數0到1之間得到的所有數值，都落入1和10之間。因此，只
要計算10這個數的所有次冪，我們就可獲得每一個可能的數值。現在，如果我們把這些
指數0、1、2、3與相應的數字1、10、100、1000相比較，我們可以看到後者以相同的比
率彼此依存，就像對數依存於它們的真數一樣。當以乘方產生這些數以相等的倍數增加
時，前者就以相同的增量增加。因此，這些冪並不指代其他任何東西，而是指代我們通
過乘方所得數值的對數。現在，我們可以把感覺定律的公式表述如下：感覺依存於其刺
激就像指數依存於乘方產生的這些數一樣。
三
但是，把指數和對數與感覺相比較會產生一個疑問。正如我們已經看到的那樣，存
在著負指數；與此相應，也應該存在著負對數。如果我們把數字10自除1次、2次、3次
和4次，我們就會獲得指數0、－l、－2、－3或者對數0、－1、－2、－3。這些負對數
數字如同正數一樣是無限的。當我們想起這些負對數和冪表示分數時，這一點將很容易
被理解。如果我們繼續延伸10的-1次、10的-2次、10－3次或者1／10、1％、1□。這個
數列，我們會依次得到越來越小的分數。正如整個數列是無窮的那樣，分數數列也是如
此。然而，如果我們通過業已描述過的方法達到0，那就需要把10自除無限次數。因此，
與0相對應的對數是無窮大的負數。但是，所有這些都適用於感覺嗎？感覺會是負的嗎？
會存在既是負的又是無窮的感覺嗎？
當我們討論負感覺時，我們通常利用以下感覺術語來理解，認為它是與我們所說的
正感覺呈相反方向的感覺。例如，寒冷是炎熱的負感覺。但是，稱寒冷為正感覺也是一
樣正確的，而此時炎熱的感覺就是負感覺。這裡的「正」與「負」，和它們在其他地方
一樣，其表達是相對的。負數並不意味著無：它和正數一樣是一個真實存在的量值；我
們可以任意地運用它們。一個店主把他估算的財產，把他賬上統計的所有東西，或者把
屬於他的其他東西作為正數；他把所欠的債看作是負的。另一方面，如果他在估算他所
欠的債時把它當作是正的，那麼賬上的項目和貸款便被看作是負的。在這兩種情形裡，
結果是一樣的。或者，如果一名地理學家希冀在區分空間方向時把某個方向命名為負而
不是命名為正；這些都不是主要的問題。同樣，我們把分數規定為負，是因為我們已經
把正的命名給了整數的對數。我們必須謹慎從事，不能認為我們在這裡所做的一切超越
了常規，即使這個常規是最自然和最明顯的。
然而，出現了一個問題，即我們是否可以不說負感覺，而用與上述意義簡單相對的
詞語。所有人都會用肯定來回答這個問題，如果曾經表明在感覺中這種對立是存在的話。
諸如寒冷和炎熱的對立在目前的例子中與我們無關，那當然是不言自明的。寒冷和炎熱
是兩種不同的感覺屬性，關於它們的性質，我們這兒幾乎沒有必要懷疑，正如舒服和不
舒服、愉快和不愉快之間的差異一樣。但是，這些屬性確實預示了感覺的相反特性。如
果我們對此予以一個特別的考察，我們也許不僅會公正地而且會十分自然地用正和負的
量值來表達炎熱和寒冷、愉快和痛苦的對立。但是，我們的任務首先是考察感覺的強度。
因此，所有其他的感受特性被排除在我們的考慮之外。
我們發現我們的坐標的自然零點是指感覺開始的那一點，在那一點上我們開始有了
感覺。然而，是否存在著未被察覺到的感覺？或者說，那個問題的提出是否會引起術語
的矛盾？
這當然是矛盾的。但它僅僅是一個表面上的矛盾，因為「感覺」這個詞本身就是一
個歧義的表達。我們已經看到，確實存在未被察覺的感覺差別。顯然，這一現象就「感
覺」一詞給出了兩種不同的含義。第一個含義是，感覺僅僅是一個依賴於刺激變化的某
種東西，而不論我們是否會檢測到這種變化。第二個含義是指我們的發現，即由感覺來
表示的變化。從絕對的意義上說，這兩種關於感覺的說法都是對的。當感覺如此微弱，
以至於不能被察覺時，我們認為它們是獨立於我們的體驗而存在的某種東西，我們僅僅
從外部刺激對它們的影響進行考察。我們可以用此方式提出這樣一個問題：一個感覺差
別（sensation difference）是與感覺到的差別（Sensed difference）根本不一樣的，
後者隱含著前者具有一個確定的強度。一個感覺也許在它能被覺察到以前早就存在了。
我們只有當它達到一個確定的強度時，才能感覺到它的存在。儘管在這一闡釋中我們承
認存在著模糊性，但是我們仍無法去排除它。這種模糊可用下述的事實來解釋：當感覺
這個詞首次出現在語言中時，產生它的意識僅僅是它自身被認識的感覺和感覺差別。除
非出現科學的反應，否則人們無法得出如此的結論：感覺和感覺差別肯定存在，但它不
足以被認識，因為感覺既不會突然地產生，也不會突然地改變，而是具有連續的階段性。
所以，對於我們來說，這裡所用的「感覺」一詞，在後面將用來表示所有那些我們
無法覺察的感覺和感覺差別，除此之外，別無其他選擇。對於它們的存在，我們必須提
出這樣的假設，即我們是可以感覺到它們的存在的，正如我們可以清楚地體驗到狹義上
的感覺一樣。這使得我們有必要去區分我們所說的可以覺察到的感覺和感覺差別與不能
覺察到的感覺和感覺差別。現在，由於我們發現，一個感覺若要能被覺察，它必須達到
某一量值，而且，我們發現其他東西也一樣，當其強度變大時，它的量值也變大，因此
我們當然可以由此判斷，把感覺變到恰好可以被分辨的地方，那個地方就成為我們感覺
坐標的零點。這個問題解決後，我們就可以很自然地把該點的右邊稱為正，也即可以覺
察的感覺；把該點的左邊稱為負，也即不能被覺察的感覺。因為可以覺察和不能覺察意
味著一個直接的對立，這和寒冷與炎熱一樣．或者和相反的空間方向一樣。
因此，我們可以得出結論：在這種更進一步的正與負的反向點上也能將感覺依存於
刺激的關係與對數依存於其數值的關係作比較。而且，我們現在可以越過零點，在負方
向上建立我們的坐標，直至刺激消失，正如圖4所表示的那樣。現在，在某一長度範圍
內，我們根據感覺的最普通形式獲得了感覺規律。在我們達到刺激的零點之前，我們必
須朝負方向將0向左移動多少個單位呢？刺激的零點當然不是指影響我們感覺器官的外
部運動過程，而是指由外部運動過程引起的大腦的內部刺激，這和感覺的生理過程與感
覺的心理過程相平行是一樣的。它可以被假設為：外部的刺激如此微弱，以至於無法達
到大腦，也許是因為它們難以影響感覺器官，也許是因為它們無法被傳遞到大腦。這個
假設可以用來表達隨著感覺的增加，刺激增強的線應落在感覺坐標的什麼地方。很清楚，
我們可以把我們的負感覺單位延伸至無限，而達不到那一點；如果我們假定刺激的量值
在坐標的每一區域以1／3的幅度減弱，那麼這一減弱的趨勢將是越來越緩慢的；儘管它
會變得非常非常小，但是，只要我們所規定的這個負感覺單位可以用數字來表達，它就
不會消失。當這些數值變得無限小時，我們才會假定相應的刺激量值也變得無限小，小
到我們可以毫不猶豫地認為它等於0。從而，我們再一次具有如同對數與真數的關係一
樣的關係。如果我們不斷把分數數列1／10、1％、1□。擴展下去，我們便無法產生任
何一個分數，因為它非常非常小，不可能大於0。我們只有在無限時才能達到0。因此，
與此相對應的這個負對數為無限大。同樣，我們可以相信，一個刺激能夠按照我們的意
願被一分再分，而其結果再小仍為一個刺激。刺激只有在無限時才能變得相等於0，而
與一個相等於0的刺激相對應的負感覺必須是無窮大；因為一個負感覺意味著一個不能
被分辨的感覺，一個無限大的負感覺僅僅表明這個感覺比其他任何感覺更加難以分辨，
正如它等於0和ac時一樣，前者比任何其他數值都小，而後者比任何其他數值都大。
我們將對數規則與感覺規律進行類比只有在一點上是不完善的。我們看到，所有可
能的數值可以通過將某一數值乘以其所有可能的冪次而獲得。這些正的冪次給了我們整
數；負的冪次給了我們分數；0的冪次為我們提供了單位。在感覺的例子中，我們發現
的所有這些事實都有一個確定的意義。但是，我們已經忘記了還有一點尚未確定，那就
是這個數值的參與使我們得到了其他一切可能的數字。在這個例子中，我們把數字10乘
以0、l、2、3次冪，因而獲得了數列1、10、100、1000。如果我們采用其他數字而不是
10，將其乘以那些冪次，那麼我們獲得的將是一個不同的數列。因此，知道選擇什麼樣
的數字來作為乘方的基數是很重要的。
很明顯，這對於感覺法則來講也是一個重要的問題，因為感覺與刺激的關係如同它
們的指數與數值的關係，也是通過乘方才獲得的；而且，很清楚，我們只能說，哪些刺
激量值對應於感覺l、2、3，如果我們知道這個確定的數字是作為該乘方例子中的基數
的話。我們對那個數字的選擇是完全任意的。對於我們的感覺坐標來說，它並不重要，
它僅僅影響到坐標區域的劃分。我們已經有了最方便的劃分，感覺的量值可以根據對應
關係直接由刺激的量值來計算得到。但是，只有當感覺是刺激的一個簡單對數，而不能
是這個對數的某個倍數或分數時，這才有可能，它完全依賴於我們的刺激單位和感覺單
位的絕對量值。這兩個量值可以被任意選定，只要我們清楚地確定它所代表的意思。我
們已經看到，當刺激被選定為等於1時，感覺便等於零——即是最小可覺的1的0次、10
的0次、100的0次，都等於1；換言之，1的對數總是等於零。這對所有刺激單位的量值
都成立。現在，如果感覺1也符合這一點（在這一點上，它的刺激是與對數1相對應的數
值），那麼我們必須把10作為基數，因為在這一點上，刺激力量值10。如果100被選作
基數，我們必須在感覺1處得到刺激量值為100，等等。因為10的1次＝10，100的1次＝
100，每個數字的1次方等於它本身。如果我們標出更大的感覺單位，即坐標上2、3、4
區域的劃分，那麼我們就必須把它們的位置對應於刺激量值100、1000、10000，等等。
因為10的2次=100，10的3次=1000，10的4次＝10000。正如我們已經看到的那樣，刺激
10對應於感覺1，這些數值也可以通過我們的規則得到。所以，現在我們可以確定我們
的感覺單位，它等於我們所選定的基數。以此為條件，當刺激通過由乘方所得到的數值
來表示時，感覺便對應於它的指數；或者說，感覺等於刺激的對數。
在我們的普通對數表中，10被作為基數，通過乘方可以得到所有的數值。所以，如
果我們希望根據刺激來計算感覺，我們便可以認為感覺1是由10倍於可以分辨的刺激所
引起的。這樣，當給出一個特定的刺激強度時，只需在對數表中查找代表這個強度的數
值，相鄰的對數縱列可以立即給出感覺的量值。回到我們前面的例子，如果1／50克的
重量產生一個恰好可以分辨的感覺，那麼我們稱1／50克的刺激為1。10倍於這個刺激的
壓力等於1／5克，我們稱之為感覺1。現在，很容易決定，增加多少重量，才能使感覺
成為擴大幾倍的任何一個整數或分數。或者，必須增加多少重量，才能導致一個感覺的
增加。如果我們希望獲得像感覺1那般強烈的一個感覺的ZH倍，我們可以參考對數表，
發現對應於對數2．5的數值為316。那就意味著316個刺激單位，或者316／50＝6．3克。
或者，如果問題是去確定由sop個單位組成的刺激（100克）所產生的感覺有多大，那麼
我們查找數值5000，發現它的對數為3．698。那就是說，100克的壓力產生的感覺是1／
5克壓力產生的感覺的3．698倍。
我們已經完全回答了我們所面臨的問題。我們不僅發現了感覺依賴於刺激的規律，
而且我們還表明通過一定的方法可以計算感覺或刺激的強度（當他們的相關強度已經給
出時）。這種方法本身很簡單，因為我們只需要了解乘法表和對數表而毋須其他任何東
西。
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